Heureka! Problemlösning i matematik Fundering, ledning och lösning

Pris:
199 kr
Inkl. 6% Moms
Art.nr:
0059
Antal:
Finns i lager
Antaganden, förenklingar och allmän Lättja

Ofta när man får ett problem finns många sätt att lösa det på. Dessutom finns det olika grader av noggrannhet på en och samma lösning. Det är upp till problemförfattaren(eller författarinnan) att tala om vilka Spelregler som gäller. Sedan kan man göra antaganden och förenklingar inom ramen för dessa Spelregler. Ett ypperligt exempel är problemet ”Ett långt snöre” i den här boken. Låt mig återge problemtexten igen:

Tänk dig att man lägger ett snöre runt jorden så att det ligger tätt mot ytan, hur mycket ovanför jordens yta skulle snöret hamna om man förlänger det 40 m? Vem kan gå under snöret: myran, giraffen eller du själv? Antag att jorden är sfärisk och utan ojämnheter.

Här finns inte mycket till Spelregler. Det är fullt möjligt att göra det väldigt lätt för sig och göra följande uttalande: Ett snöre ligger på jordytan. Om man förlänger detta snöre med 40 meter ligger det fortfarande på jordytan p. g.a. gravitationen. Man kan också resonera som så att man använder de 40 metrarna till att göra en 15 meter hög
och 10 meter bred port. Här kan giraffen gå igenom. Höjden över jordens yta skulle som mest vara 15 meter.

Så långt grova förenklingar av problemet, men nu går vi åt andra hållet. Är jorden rund som en boll? Knappast - det finns t.ex. berg och dalar. Ska vi räkna med dessa? I så fall beror vårt svar på problemet på hur vi väljer att lägga snöret. För övrigt är jorden mer likt en ellipsoid än en sfär även om man bortser från berg och dalar. Genast har ett enkelt problem blivit olösligt (eller i vart fall mycket svårlöst).

Alla dessa tre tankegångar är inom ramen för de Spelregler som ställs upp i problemtexten. När jag gjorde lösningen till problemet använde jag ett mellanting. Jag valde att se jorden som ett klot (förenkling) och låta snöret följa en storcirkel på detta klot (antagande). Därefter valde jag att låta de 40 metrarna fördelas jämt över hela snöret och bilda en ny större cirkel men med samma mittpunkt som den gamla (antagande). Varför gjorde jag det? För att min erfarenhet säger att detta antagligen var den lösning som efterfrågades. Dessutom ger denna lösning vad man kanske
skulle vilja kalla för ett meningsfullt svar. Den visar på det linjära sambandet mellan omkrets och radie hos cirklar.

I praktiken (när man har ett problem) är ett ”exakt” svar inte nödvändigt. För att illustrera detta kan vi titta på problemet med höstacken:

En höstack har formen av en stympad pyramid, med kvadratisk bas med måttet 5 m och en kvadratisk topp med måttet 0,4 m. Hur stor volym har stacken om höjden är 3,5 m? Se figur.

Behöver man verkligen räkna med en stympad pyramid? Föreställ dig en ca fyra meter hög pyramid med en fem meter lång bas. Du kan jämföra med ett normalstort rum som är ungefär fem gånger fem meter och 2,5 meter högt. Nu jämför du denna
pyramid med en mindre som har en bas som är 0,4 meter - dock med samma form som den stora pyramiden. Vi ser nu att den lilla pyramiden är försvinnande liten i jämförelse. Så vi kan approximera den stympade pyramiden med en ostympad sådan.

Hur hög ska denna pyramid vara? Man kan enkelt resonera sig fram till detta. Höjden ska vara 3,5 meter plus höjden av den lilla pyramiden. Så nu antar vi istället att höjden är samma som basen, -d.v.s. 5 meter. Då gäller samma sak för den lilla pyramiden som i sin tur blir 0,4 meter hög. 3,5 meter plus 0,4 meter är långt ifrån 5 meter. Antag att
höjden är _ca 4 meter. Detta är 80 % av basens längd och för den lilla pyramiden ger detta den ungefärliga höjden 0,3 meter. 3,5 meter plus 0,3 meter är 3,8 meter och det stämmer mycket bättre. Nu kan man upprepa förfarandet och testa antagandet om en höjd på 3,8 meter och finna att detta stämmer precis.

Låt oss för stunden nöja oss med att säga att den stora pyramidens höjd är ca 4 meter. Ur formeln för pyramidens volym får vi att denna blir ca 33 m3. Detta är ett svar som är snabbt och enkelt att ta fram och som dessutom bara är ca 4 % från det mer noggranna värde som räknades fram i lösningen för den här uppgiften. Hade vi istället använt höjden 3,8 meter hade vi fått ett svar som bara är 0,05 % ifrån det ”riktiga” svaret.

Nu finns det ytterligare en sak som är värd att notera. Höstackens bas är bara angiven med en gällande värdesiffra. Den är 5 meter och inte 5,0 meter. Det betyder att basen i praktiken skulle kunna vara 4,5 meter eller kanske 5,4 meter. Detta gör att det finns en osäkerhet i volymen på ca 20 %. I ljuset av detta spelar det ingen roll om vi väljer att räkna på en hel pyramid. Vi kan dessutom approximera dess höjd med antingen 4 meter, eller t.0.m. 3,5 meter, utan att hamna utanför den 20 %-iga felmarginalen. Att välja höj den 5 meter går däremot inte. Man kan inte vara hur lat som helst!